Makalah Bilangan Desimal

BAB I

PENDAHULUAN

A.  Latar Belakang

Matematika merupakan suatu ilmu yang berhubungan dengan penelaahan bentuk-bentuk atau struktur-struktur yang abstrak dan hubungan-hubungannya diantara hal-hal itu. Bertitik tolak dari tujuan pembalajaran matematika di Sekolah Dasar yaitu menumbuhkan dan mengembangkan keterampilan berhitung sebagai alat dalam kehidupan sehari-hari, maka matematika sebagai salah satu ilmu dasar yang memberi tekanan pada penalaran dan pembentukan sikap anak memberikan pengajaran perpangkatan dan akar bilangan dalam menerapkan matematika dalam kehidupan sehari-hari.

Oleh karena itu konsep dasar matematika harus ditanamkan benar-benar dalam diri pribadi setiap anak didik. Sebab kalau penguasaan mereka terhadap konsep matematika, dalam hal ini tentang operasi bilangan desimal pada Sekolah Dasar sekarang tentu akan menjadi faktor kesulitan bagi siswa ketika melanjutkan pendidian.

B.  Rumusan Masalah

1.    Bagaimana sejarah bilangan desimal?

2.    Apa pengertian bilangan desimal?

3.    Apa saja macam-macam bilangan desimal itu?

4.    Apakah bilangan desimal menggunakan nilai tempat?

5.    Bagaimana cara pembulatan bilangan desimal

6.    Bagaimana sistem operasi bilangan desimal?

7.    Bagaimana cara mengajarkan bilangan desimal kepada siswa SD?

C.  Tujuan Masalah

1.    Untuk mengetahui bagaimana sejarah bilangan desimal.

2.    Untuk mengetahui apa itu bilangan desimal.

3.    Untuk mengetahui apa saja macam-macam bilangan desimal.

4.    Untuk mengetahui apakah bilangan desimal menggunakan nilai tempat.

5.    Untuk mengetahui bagaimana cara pembulatan bilangan desimal.

6.    Untuk mengetahui bagaimana sistem operasi bilangan desimal.

7.    Untuk mengetahui bagaimana cara mengajarkan bilangan desimal kepada siswa SD.

BAB II

PEMBAHASAN

A.  Sejarah Bilangan Desimal

Penemu desimal yang paling populer kita dengar sebagai matematikawan Arab Muslim yang mempunyai kontribusi terhadap perkembangan matematika adalah Al-Khawarizmi, dikenal sebagai bapak Aljabar, memperkenalkan bilangan nol (0) dan penerjemah karya-karya Yunani kuno. Kisah angka nol dan konsep bilangan nol telah berkembang sejak zaman Babilonia danYunani kuno yang pada saat itu diartikan sebagai ketiadaan dari sesuatu. Konsep bilangan nol dan sifat-sifatnya terus berkembang dari waktu ke waktu.

Hingga pada abad ke-7, Brahmagupta seorang matematikawan India memperkenalkan beberapa sifat bilangan nol. Sifat-sifatnya adalah suatu bilangan bila dijumlahkan dengan nol adalah tetap, demikian pula sebuah bilangan bila dikalikan dengan nol akan menjadi nol. Tetapi, Brahmagupta menemui kesulitan dan cenderung ke arah yang salah ketika berhadapan dengan pembagian oleh bilangan nol. Hal ini terus menjadi topik penelitian pada saat itu, bahkan sampai 200 tahun kemudian.

Misalnya tahun 830, Mahavira (India) mempertegas hasil-hasil Brahmagupta, dan bahkan menyatakan bahwa "sebuah bilangan dibagi oleh nol adalah tetap". Tentu saja ini suatu kesalahan fatal. Tetapi, hal ini tetap harus sangat dihargai untuk ukuran saat itu. Ide-ide brilian dari matematikawan India selanjutnya dipelajari oleh matematikawan Muslim dan Arab.

Hal ini terjadi pada tahap-tahap awal ketika matematikawan Al-Khawarizmi meneliti sistem perhitungan Hindu (India) yang menggambarkan sistem nilai tempat dari bilangan yang melibatkan bilangan 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Al-Khawarizmi adalah yang pertama kali memperkenalkan penggunaan bilangan nol sebagai nilai tempat dalam basis sepuluh. Sistem ini disebut sebagai sistem bilangan desimal.

B.  Pengertian Bilangan Desimal

Sistem bilangan desimal disusun dari 10 angka atau lambang. Dengan menggunakan lambang-lambang tersebut sebagai digit pada sebuah bilangan, kita dapat mengekspresikan suatu kuantitas.Kesepuluh lambang tersebut adalah: D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Sistem bilangan desimal juga disebut sistem bilangan basis 10 atau radiks 10 karena mempunyai 10 digit. Sistem bilangan ini bersifat alamiah karena pada kenyataannya manusia mempunyai 10 jari. Kata digit itu sendiri diturunkan dari kata bahasa latin finger. Contohnya: 0,12; 1,28; 0,005 dll. Seperti yang dijelaskan sebelumnya, bilangan desimal adalah jenis bilangan berbasis 10 yang umunya dituliskan dengan tanda koma (,).

Secara umum, bilangan ini berkaitan erat dengan bilangan pecahan. Mengapa? Karena ada sebuah materi dimana kamu harus mampu mengubah bilangan ini ke dalam bentuk pecahan. Dimana bilangan pecahan itu adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan b adalah bilangan bulat dan b ≠ 0. Bilangan a disebut sebagai pembilang dan bilangan b disebut sebagai penyebut.  Sedangkan kata desimal berasal dari bahasa latin decem yang artinya sepuluh.

Seperti yang telah diungkapkan oleh Muhsetyo (2010: 4.51) yang menyatakan bahwa sistem numersi yang berbasis sepuluh, artinya bilangan 10 dipakai sebagai acungan pokok dalam melambangkan dan menyebut bilangan. Sedangkan menurut Van de walle, dkk (2010: 328) menyatakan bahwa angka desimal adalah cara sederhana lain dari penulisan pecahan. Sedangkan mengenai koma desimal adalah kesepakatan/ kaidah yang telah dikembangkan untuk menandakan posisi unit.

Atau dengan kata lain pecahan desimal yaitu bilangan yang dihasilkan dari hasil bagi suatu bilangan dengan bilangan 10 dan kelipatannya atau pecahan dengan penyebut 10, 100, 1000, dan seterusnya, dan ditulis dengan tanda koma (,).

Contoh bilangan pecahan desimal yaitu:

1.    0,8 adalah pecahan desimal yang dihasilkan dari 8 dibagi 10

2.    0,15 adalah pecahan desimal yang dihasilkan dari 15 dibagi 100

3.    0,123 adalah pecahan desimal yang dihasilkan dari 123 dibagi 1000

4.    2,50 adalah pecahan desimal yang dihasilkan dari 250 dibagi 100

C.  Macam-macam Bilangan Desimal

Bilangan desimal dapat dibagi menjadi 3 bagian, yaitu sebagai berikut.

1.    Aritmatika Desimal

Semua bilangan rasional mempunyai pernyataan desimal. Penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian bilangan rasional dapat diperluas dengan mudah untuk desimal pecahan. Sifat-sifat komutatif, assosiatip, dan distributip memungkinkan menjalankan/mengerjakan aritmetika desimal.

a.    Penjumlahan desimal

Contoh: 0,35 + 0,49 = 0,84

b.    Perkalian desimal

Untuk mengalikan dua bilangan desimal, masing-masing desimal kita ubah lebih dahulu menjadi pecahan dengan penyebut perpangkatan dari 10.

Contoh: (26,2) (0,03)= 0,786

c.    Pembagian desimal

Pembagian pecahan decimal dapat dengan mudah diubah menjadi pembagian bilangan cacah.

Contoh: 106,08 : 1,7 =  62,4

2.    Desimal Berulang (Rasional)

Desimal berulang disebut  juga bilangan rasional atau bilangan yang bisa ditulis menjadi bentuk pecahan  dengan a dan b merupakan bilangan bulat dan hasil dari pecahan tersebut mempunyai angka-angka yang berulang teratur.

Contoh:

Kita akan mencoba mencari pernyataan bilangan rasional dari 0,272727… , kita misalkan bahwa N = 0,272727 …, dengan angka-angka berulang teratur adalah “27”. Karena terdapat dua angka yang berulang terakhir, N kita kalikan dengan 100. (jika terdapat 3 bilangan berulang terakhir, dikalikan 1000, dan setrusnya).

       N     = 0,272727

100 N     = 27,2727

       N     =  0,2727

  99 N     = 27

       N    = 5

3.    Bilangan Irasional

Bilangan irasional adalah bilangan yang bukan rasional, bilangan ini bukan hasil bagi bilangan bulat dari bilangan asli dan juga tidak mempunyai bentuk desimal berulang. Misalkan  adalah penyelesaian  – 2 = 0. Dalam pembicaraan berikut akan dibahas pendekatan nilai dari , dan akan ditunjukkan bahwa  adalah irasional. Karena < 2 dan  = 4 > 2, maka kita setuju bahwa  berada diantara 1 dan 2

Defenisi lainnya mengatakan bahwa akar pangkat dua dari banyak bilangan rasional adalah bukan rasional tetapi “irasional”. Kita memerlukan suatu algoritma untuk menentukan bilangan rasional dari nilai  pendekatan akar pangkat dua salah satu algoritma yang termudah untuk dipelajari disebut “metode rata-rata “ yang langkah - langkahnya sebagai berikut:

a)    Tentukan estimasi dari nilai pendekatan itu tidak mengapa bila nilai estimasi ini terlalu besar atau terlalu kecil dengan menggunakan bilangan estimasi sebagai pembagi,

b)   Tentukan hasil bilangan yang di akar dengan bilangan estimasinya, dengan angka decimal sebanyak yang kita kehendaki,

c)    Tentukan nilai rata-rata dari bilangan estimasi dengan hasil bagi nilai rata-rata yang diperoleh merupakan nilai pendekatan yang dicari,

d)   Untuk mendapatkan nilai pendekatan yang lebih baik gunakan nilai rata-rata yang diperoleh sebagai estimasi kemudian ulangilah prosesnya (seperti langkah 2 dan 3).

Contoh: Tentukan nilai pendekatan

Jawab:

Karena  = 289 (pendekatan dari 294), kita pilih 17 sebagai estimasi kasar.

              = 17,3345

              = 17,1672

              = 17,1656997

Jadi 17,16 adalah nilai pendekatan  teliti sampai 2 tempat decimal. Jika proses diatas kita teruskan :

= 17,166449

= 17,16645

Jadi 17,166 adalah nilai pendekatan  teliti sampai 3 tempat desimal.

D.  Bilangan Desimal Menggunakan Nilai Tempat

Pecahan desimal dapat juga menggunakan nilai tempat, sebagai contoh yaitu sebagai berikut.

1.    0,2 (satu tempat desimal atau 1 angka di belakang koma)

2.    0,35 (dua tempat desimal atau 2 angka di belakang koma)

3.    0,125 (tiga tempat desimal atau 3 angka di belakang koma)

Coba kalian ingat kembali mengenai nilai tempat pada bilangan pecahan desimal. Perhatikan nilai tempat pada bilangan 235,674 dimana:

4 = perseribuan, nilainya  atau 0,004

7 = perseratusan, nilainya  atau 0,07

6 = persepuluhan, nilainya  atau 0,6

5 = satuan, nilainya 5

3 = puluhan, nilainya 30

2 = ratusan, nilainya 200

E.  Pembulatan Bilangan Desimal

Pecahan desimal dapat dibulatkan menjadi pecahan desimal dengan angka di belakang komanya lebih sedikit. Dengan aturan:

1.    Pembulatan ke atas untuk angka lebih dari atau sama dengan 5

2.    Pembulatan ke bawah untuk angka kurang dari 5

Contoh:

a.    0,8463 dibulatkan menjadi 0,846 karena 3 kurang dari 5

b.    0,846 dibulatkan menjadi 0,85 karena 6 lebih dari 5

c.    0,85 dibulatkan menjadi 0,9 karena sama dengan 5

F.   Operasi Bilangan Desimal

1.    Penjumlahan dan Pengurangan

Pada operasi hitung pecahan desimal, untuk Penjumlahan dan Pengurangan, sebaiknya kita gunakan metode Penjumlahan/Pengurangan susun dan caranya sama dengan Penjumlahan/Pengurangan Bilangan Bulat, yaitu dengan meluruskan angka satuannya.  Yang mesti kita cermati adalah bahwa angka yang tepat di depan koma itu adalah angka satuan, maka akan lebih mudah diingat bila bahasanya kita ubah menjadi “ yang diluruskan adalah koma”.

a.    Penjumlahan

Untuk menjumlahkan dua bilangan dengan benar kita harus menjumlahkan angka-angka yang nilai tempatnya sama, misalnya.

1)   Ratusan dijumlahkan dengan ratusan.

2)   Puluhan dijumlahkan dengan puluhan.

3)   Satuan dijumlahkan dengan satuan.

4)   Persepuluhan dengan persepuluhan.

5)   Perseratusan dengan perseratusan, dst.

Cara yang termudah untuk menjumlahkan dua pecahan desimal, adalah dengan  cara penjumlahan bersusun, dengan meluruskan tanda koma (,).

Contoh:

Hitunglah!

a)      0,54  +  0,24 = ...

b)      0,144  + 0,132 = ...

Penyelesaian:

a)      0,54

0,24    +

0,78

b)      0,144

0,132  +

0,276

b.   Pengurangan

Cara menyelesaikan operasi pengurangan pada pecahan desimal adalah sama dengan operasi penjumlahan. Kita dapat melakukan pengurangan dengan cara bersusun.

Contoh:

Hitunglah!

c)      0,54 - 0,24 = ...

d)     0,144 - 0,132 = ...

Penyelesaian:

c)      0,54

0,24    -

0,3

d)     0,144

0,132  -

0,012

2.    Perkalian dan Pembagian

a.    Perkalian

Kerjakan Perkalian dengan membuang terlebih dahulu tanda koma, setelah selesai baru kita hitung jumlah angka dibelakang koma pada bilangan dikali dan angka dibelakang koma pada bilangan pengali, lalu dijumlahkan angka dibelakang koma itu untuk menentukan jumlah angka dibelakang koma pada jawaban.

Contoh Perkalian Bilangan Bulat : 3075 x 123 = 378225

Contoh Perkalian Pecahan Desimal misalnya: 30,75x12,3= 378,225

Untuk jumlah Desimal pada jawaban, kita tinggal menambahkan jumlah Desimal pada angka mengalikan (30,75) dua angka desimal dan pada angka yang dikalikan (12,3) satu angka desimal.Dua desimal ditambah satu desimal = tiga desimal, berarti tiga angka dibelakang koma (tiga Desimal) yaitu 225 (tiga angka dihitung dari belakang) makanya pada jawaban tertulis 378,225.

b.   Pembagian

Kerjakan Pembagian dengan membuang terlebih dahulu tanda koma, setelah selesai baru kita hitung jumlah angka dibelakang koma pada bilangan dibagi dan angka dibelakang koma pada bilangan pembagi, lalu jumlah angka dibelakang koma pada bilangan dibagi atau dikurangi jumlah angka dibelakang koma pada bilangan pembagi, itu untuk menentukan jumlah angka dibelakang koma pada jawaban.

Cara 1 :

Pada langkah awalnya, proses pengerjaan operasi hitung pembagian pecahan desimal, sama persis dengan proses pengerjaan perkalian pecahan desimal. Yaitu menganggap pecahan desimal itu sebagai bilangan bulat, dengan cara menyingkirkan tanda desimal ( tanda koma ) terlebih dahulu 9 , 63 : 32 , 1  ~>  963 : 321

Setelah tanda desimal disingkirkan terlebih dahulu, langkah kedua adalah  mengerjakan sebagai pembagian bilangan bulat 963 : 321 =  3

Langkah ketiga, ini yang berbalik 180 derajat. Bila pada operasi hitung perkalian pecahan desimal, "semua desimal dijumlahkan", maka pada operasi hitung pembagian pecahan desimal "Desimal Pada Bilangan Dibagi Dikurangi Desimal Pada Bilangan Pembagi”.

9, 63 ada 2 desimal

32, 1 ada 1 desimal

2 - 1 = 1 >> berarti ada satu desimal pada jawaban

Jawaban yang asalnya 3 dijadikan satu desimal menjadi 0 ,3

G. Cara Mengajarkan Bilangan Desimal Kepada Siswa SD

Untuk membantu siswa memahami dan menguasai hubungan antara pecahan dan desimal, gunakan berbagai model atau bahan manipulatif yang sesuai, misalnya piringan berskala atau potongan karton. Alat-alat ini dapat dipakai untuk menjelaskan hubungan persepuluhan dan perseratusan dengan pecahan, serta mentranslasikan bentuk-bentuk pecahan dengan bentuk-bentuk desimal.

Bisa juga dengan cara tanda koma berjalan. Berikut ini langkah-langkahnya.

1.    Pertama : Masing-masing siswa diminta untuk membuat kartu-kartu bilangan yang bertuliskan angka 1-9,  5 buah kartu bertuliskan angka 0, dan sebuah kartu untuk tanda koma (,).

2.    Kedua :  Guru memberikan papan petunjuk di depan siswa. Jika dibagi maka tanda koma (,) akan melompat ke kiri sebanyak jumlah nol pembaginya. Jika dikali maka tanda koma (,) akan melompat ke kanan sebanyak jumlah nol pembaginya.

3.    Ketiga: Jika di depan koma (,) kosong / tidak ada angka maka diisi dengan angka 0 (nol).

4.    Keempat: Guru memberikan soal latihan kepada siswa.

BAB III

PENUTUP

A.  Kesimpulan

Sistem bilangan desimal disusun dari 10 angka atau lambang. Dengan menggunakan lambang-lambang tersebut sebagai digit pada sebuah bilangan, kita dapat mengekspresikan suatu kuantitas.Kesepuluh lambang tersebut adalah: D = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

Pada operasi hitung pecahan desimal untuk Penjumlahan dan Pengurangan sebaiknya kita gunakan metode Penjumlahan/Pengurangan susun dan caranya sama dengan Penjumlahan/Pengurangan Bilangan Bulat, yaitu dengan meluruskan angka satuannya.  Yang mesti kita cermati adalah bahwa angka yang tepat di depan koma itu adalah angka satuan, maka akan lebih mudah diingat bila bahasanya kita ubah menjadi “ yang diluruskan adalah koma”

Yang sangat perlu diperhatikan pada Operasi Perkalian dan Pembagian susun adalah "Jumlah Angka Dibelakang Koma".

B.  Saran

Dengan selesainya makalah ini, penyusun berharap kepada para pembaca agar dapat member masukan baik berupa kritik atau saran yang sifatnya membangun agar pada perbaikan makalah ini, pembaca mendapat manfaat yang lebih daripada sebelumnya.

DAFTAR PUSTAKA

Darmawi, Fadhil. (2014). Makalah Matematika Bilangan. [Online]. Tersedia: http://fadhildarmawi.blogspot.co.id/2014/06/makalah-matematika-bilangan.html. [Diakses: 29 Maret 2016].

GuruKatro. (2014). Operasi Hitung Pecahan Desimal. [Online]. Tersedia: https://gurukatrondeso.blogspot.co.id/2014/11/operasi-hitung-pecahan-desimal.html. [Diakses 29 Maret 2017].

Matematika5. (2013). Komanya Jalan, Bu! Operasi Hitung Desimal. [Online]. Tersedia: http://belajar.indonesiamengajar.org/2013/02/komanya-jalan-bu-operasi-hitung-desimal/. [Diakses 29 Maret 2017].

Matik6sd. (2013). Perkalian dan Pembagian Desimal. [Online]. Tersedia: https://matikkelas6.wordpress.com/2013/02/15/perkalian-dan-pembagian-desimal/. [Diakses: 29 Maret 2016).

Yasir, Ahmad. (2014). Pecahan Desimal. [Online]. Tersedia: http://yasmakalah.blogspot.co.id/2014/03/pecahan-desimal.html. [Diakses 29 Maret 2017].

Idris, Eka. (2017). Makalah Bilangan Desimal. [Online]. Tersedia: http://ekaidrisup.blogspot.co.id/2017/10/makalah-bilangan-desimal.html [diakses 2 Mei 2018].

Naiswa. (2017). Konsep Desimal dan Persen. [Online]. Tersedia. http://pustaka-naiswa.blogspot.co.id/2017/05/konsep-desimal-dan-persen-dalam_9.html [diakses 2 Mei 2018].

Khalilah, Royatul. (2013). Desimal dan Bilangan Real. [Online]. Tersedia: http://royatulkhalilah14.blogspot.co.id/2013/11/desimal-dan-bilangan-real.html?m=1 [diakses 2 Mei 2018].

Yasmakalah. (2014). Pecahan Desimal. [Online]. Tersedia: http://yasmakalah.blogspot.co.id/2014/03/pecahan-desimal.html [diakses 2 Mei 2018].